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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.3.
Hallar un valor $N$ a partir del cual todos los terminos a partir de dicho $N$ verifiquen que
b) $a_{n}=n^{2}-8 n-3$ sea mayor que 100
b) $a_{n}=n^{2}-8 n-3$ sea mayor que 100
Respuesta
Ahora necesitamos encontrar el primer $n$ que verifica que
Reportar problema
$n^{2}-8 n-3 > 100$
Si pasamos el $100$ restando para el otro lado:
$n^{2}-8 n-3-100 > 0$
$n^{2}-8 n -103 > 0$
Y podemos hacer un análisis similar al que hicimos en el item anterior, pero ahora graficando la función $x^2 - 8x -103$. Si buscás las raíces de esta cuadrática, son $ x = 4 \pm \sqrt{119} $. Es decir, la raíz que está en los $x$ positivos es $ x = 4 + \sqrt{119} \approx 14.9... $
Y ahora, volvemos de nuevo a nuestra variable $n$, que sólo toma valores naturales. Entonces, cuál es el primer $n$ que verificará que $n^{2}-8 n -103 > 0$ si la raíz de esta cuadrática estaba en $\approx 14.9...$? Bueno, es $n=15$.
Es decir, $n = 15$ es el primer natural que verifica que
$n^{2}-8 n -103 > 0$
lo que es equivalente a cumplir que
$n^{2}-8 n-3 > 100$